Question

如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（ ）

A. B.8 C. D.8

 

Answer 1

D

【解析】

试题分析：连结BD，可得四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD，由圆内接四边形性质、诱导公式和三角形面积公式，化简得S=（AB•AD+BC•CD）sinA=16sinA．再根据△ABD和△CBD有公共边BD，利用余弦定理列式解出cosA的值，从而解得A=120°，代入前面式子即可得出四边形ABCD的面积．

【解析】
连结BD，可得四边形ABCD的面积为

S=S△ABD+S△CBD=AB•ADsinA+BC•CDsinC

∵四边形ABCD内接于圆，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．

S=AB•ADsinA+BC•CDsinC

=（AB•AD+BC•CD）sinA=（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）

在△ABD中，由余弦定理可得

BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=22+42﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，

同理可得：在△CDB中，BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosC=62+42﹣2×6×4cosC=52﹣48cosC，

∴20﹣16cosA=52﹣48cosC

结合cosC=cos（180°﹣A）=﹣cosA，得64cosA=﹣32，解得cosA=﹣，

∵A∈（0°，180°），∴A=120°，

代入（*）式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8

故选：D