Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）过点Q（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点（2，0）的直线l与该椭圆相交于A、B两点，当|AB|=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$时，求直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²=2b²，将Q（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l的斜率k≠0，设直线方程为：y=k（x-2），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，由|AB|=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，即可求得k的值，求得直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，整理得：a²=2b²，
将Q（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{1}{{2b}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得：b=1，a=$\sqrt{2}$，
故椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，不存在符合题意的直线，
当直线l的斜率k≠0，设直线方程为：y=k（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8-16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
|AB|=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8-16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，解得：k²=$\frac{1}{4}$，
∴直线方程为：x-2y-2=0和x+2y-2=0．

点评 本题考查椭圆的方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．