Question

7．若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|．
（3）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式计算即可，
（2）根据模的计算方法，计算即可，
（3）根据向量的夹角公式，计算即可．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos60°=2×3×$\frac{1}{2}$=3，
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4+9+6=19，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{19}$，
（3）∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4+9-6=7，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{b}$|²=4-9=-5，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-5}{\sqrt{19}×\sqrt{7}}$=$\frac{-5\sqrt{153}}{153}$

点评 本题考查了向量的数量积公式，向量的模，向量的夹角公式，属于基础题．