Question

19．已知函数$f（x）=\frac{{ex-2{e^x}}}{{{e^{x+1}}}}$，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数g（x）在区间[2，4]上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有g（m）≥f（n）成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g（x）在[2，4]上的最小值即可；
（Ⅱ）求出g（m）的最小值，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而证出结论即可．

解答 （Ⅰ）解：由g（x）=xlnx，可得g'（x）=lnx+1．
当$x∈（0，\frac{1}{e}）$，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
所以函数g（x）在区间[2，4]上单调递增，
又g（2）=2ln2，所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为2ln2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知g（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在$x=\frac{1}{e}$时取得最小值，
又$g（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$，可知$g（m）≥-\frac{1}{e}$．
由$f（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，可得$f'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
所以函数f（x）（x＞0）在x=1时取得最大值，
又$f（1）=-\frac{1}{e}$，可知$f（n）≤-\frac{1}{e}$，
所以对任意m，n∈（0，+∞），都有g（m）≥f（n）成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．