Question

下列三个不等式：
①2-x2+ax-

25

4

＞1；
②（a-3）x²+（a-2）x-1＞0；
③a＞x²+

1

x2

．
若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：分别考虑三个不等式的解集为空集，运用二次不等式的解法和指数函数的单调性，及基本不等式，求出a的范围，再求它们的交集，最后再求补集即可得到．

解答： 解：对于①，2-x2+ax-

25

4

＞1即-x²+ax-

25

4

＞0，则x²-ax+

25

4

＜0，△=a²-25，
则不等式的解集为空集，由△≤0，解得-5≤a≤5；
对于②，当a=3时，不等式的解集为{x|x＞1}，不为空集；当a≠3时，
要使不等式（a-3）x²+（a-2）x-1＞0的解集为空集，
则a-3＜0，且（a-2）2+4（a-3）≤0，解得-2

2

≤a≤2

2

．
对于③，由于x²+

1

x2

≥2

x2• 1 x2

=2，当且仅当x²=1，即x=±1时取等号．
则有不等式a＞x²+

1

x2

的解集为空集时，则有a≤2．
因此当三个不等式的解集空集时，有-2

2

≤a≤2．
则要使其中至多有两个不等式的解集为空集，
实数a的取值范围为{a|a＜-2

2

或a＞2}．

点评：本题考查不等式的解法，考查二次不等式和指数不等式，及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．