Question

20．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值并求取得最大值时的x的取值集合；
（2）求函数f（x）单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），求出函数 的最小正周期求出函数及x的取值集合即可；（2）根据三角函数的性质求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=cos（\frac{π}{3}+x）cos（\frac{π}{3}-x）-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$（\frac{1}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx）（\frac{1}{2}cosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx）-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}{cos^2}x-\frac{3}{4}{sin^2}x-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1+cos2x}{8}-\frac{3-3cos2x}{8}-\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}（cos2x-sin2x）$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（{2x+\frac{π}{4}}）$
∴函数f（x）的最小正周期为 T=π，
函数f（x）的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此时x的取值集合为$\left\{{x|x=kπ-\frac{π}{8}，k∈Z}\right\}$；
（2）由 $2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+π，k∈z$
得 $kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}，k∈z$
函数f（x）的 单调递减区间为$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}]，k∈z$．

点评 本题考查了三角函数的周期、最值问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题．