Question

已知函数，（x∈R，p₁，p₂为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，
（1）求f（x）=f₁（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f₁（x）对所有实数成立，等价于f₁（x）≤f₂（x）对所有实数x成立等价于，即对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于，即|p₁-p₂|≤log₃2，
（2）分两种情形讨论：①当|p₁-p₂|≤log₃2时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p₁-p₂|＞log₃2时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．
解答：解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f₁（x）（对所有实数x）等价于f₁（x）≤f₂（x）（对所有实数x）这又等价于，即对所有实数x均成立．（*）
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值为|p₁-p₂|，
故（*）等价于，即|p₁-p₂|≤log₃2，这就是所求的充分必要条件
（2）分两种情形讨论
（i）当|p₁-p₂|≤log₃2时，由（1）知f（x）=f₁（x）（对所有实数x∈[a，b]）
则由f（a）=f（b）及a＜p₁＜b易知，
再由的单调性可知，
函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度
为（参见示意图）

（ii）|p₁-p₂|＞log₃2时，不妨设p₁＜p₂，，则p₂-p₁＞log₃2，于是
当x≤p₁时，有，从而f（x）=f₁（x）；
当x≥p₂时，有
从而f（x）=f₂（x）；当p₁＜x＜p₂时，，及，由方程
解得f₁（x）与f₂（x）图象交点的横坐标为（1）
显然，
这表明x在p₁与p₂之间．由（1）易知
综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）

故由函数f₁（x）及f₂（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x-p₁）+（b-p₂），由于f（a）=f（b），即，得p₁+p₂=a+b+log₃2（2）
故由（1）、（2）得
综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为．
点评：考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法．