Question

9．已知数列{a_n}，{b_n}均为各项都不相等的数列，S_n为{a_n}的前n项和，a_n+1b_n=S_n+1（n∈N^•）．
（1）若a₁=1，b_n=$\frac{n}{2}$，求a₄的值；
（2）若{a_n}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b_n+λ}为等比数列；
（3）若{a_n}的各项都不为零，{b_n}是公差为d的等差数列，求证：a₂，a₃，…，a_n…成等差数列的充要条件是d=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接代入计算即可；
（2）通过设a_n=a₁q^n-1（q≠1），利用等比数列的求和公式及a_n+1b_n=S_n+1，计算可知b_n=$\frac{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}+1-q}{（1-q）{a}_{1}{q}^{n}}$，进而化简即得结论；
（3）通过数列{b_n}是公差为d的等差数列，对a_n+1b_n-a_n（b_n-d）=a_n变形可知$\frac{{b}_{n}}{1-d}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$（n≥2）、$\frac{{b}_{n-1}}{1-d}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$（n≥3），从而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=$\frac{d}{1-d}$（n≥3），然后分别证明充分性、必要性即可．

解答 （1）解：∵a_n+1b_n=S_n+1，a₁=1，b_n=$\frac{n}{2}$，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}+1}{{b}_{1}}$=$\frac{1+1}{\frac{1}{2}}$=4，
a₃=$\frac{{S}_{2}+1}{{b}_{2}}$=$\frac{1+4+1}{1}$=6，
a₄=$\frac{{S}_{3}+1}{{b}_{3}}$=$\frac{1+4+6+1}{\frac{3}{2}}$=8；
（2）证明：设a_n=a₁q^n-1（q≠1），则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∵a_n+1b_n=S_n+1，
∴b_n=$\frac{{S}_{n}+1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}+1-q}{（1-q）{a}_{1}{q}^{n}}$，
∵$\frac{{b}_{n+1}+λ}{{b}_{n}+λ}$=$\frac{\frac{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n+1}+1-q+λ{a}_{1}{q}^{n+1}-λ{a}_{1}{q}^{n+2}}{（1-q）{a}_{1}{q}^{n+1}}}{\frac{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}+1-q+λ{a}_{1}{q}^{n}-λ{a}_{1}{q}^{n+1}}{（1-q）{a}_{1}{q}^{n}}}$=$\frac{{a}_{1}+1-q+（-1+λ-λq）{a}_{1}{q}^{n+1}}{（{a}_{1}+1-q）q+（-1+λ-λq）{a}_{1}{q}^{n+1}}$为常数，
∴-1+λ-λq=0，即λ=$\frac{1}{1-q}$，
故存在实数λ=$\frac{1}{1-q}$，使得{b_n+λ}为等比数列；
（3）证明：∵数列{b_n}是公差为d的等差数列，
∴当n≥2时，a_n+1b_n-a_n（b_n-d）=a_n，
即（a_n+1-a_n）b_n=（1-d）a_n，
∵数列{a_n}的各项都不为零，
∴a_n+1-a_n≠0，1-d≠0，
∴当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{1-d}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，
当n≥3时，$\frac{{b}_{n-1}}{1-d}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，
两式相减得：当n≥3时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=$\frac{{b}_{n}-{b}_{n-1}}{1-d}$=$\frac{d}{1-d}$．
先证充分性：
由d=$\frac{1}{2}$可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=1，
∴当n≥3时，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，
又∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，
即a₂，a₃，…，a_n…成等差数列；
再证必要性：
∵a₂，a₃，…，a_n…成等差数列，
∴当n≥3时，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=1=$\frac{d}{1-d}$，
∴d=$\frac{1}{2}$．
综上所述，a₂，a₃，…，a_n…成等差数列的充要条件是d=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．