Question

设椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，若

PF1

?

PF2

=

5

2

，则|

PF1

|?|

PF2

|=（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  7

  2

• D、

  9

  2

Answer 1

分析：设|PF₁|=m、|PF₂|=n，根据椭圆的定义得到m+n=4．在△F₁PF₂中利用余弦定理，得4=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，结合

PF1

•

PF2

=

5

2

算出m²+n²=9，两式联解得出mn=

7

2

，即得|

PF1

|•|

PF2

|的值．

解答：解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2，b=

3

，可得c=

a2-b2

=1，焦距|F₁F₂|=2．
设|PF₁|=m、|PF₂|=n，
根据椭圆的定义，可得m+n=2a=4，平方得m²+2mn+n²=16…①．
△F₁PF₂中，根据余弦定理得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂，
即4=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，…②
∵

PF1

•

PF2

=

5

2

，∴

|PF1|

•

|PF2|

cos∠F₁PF₂=mncos∠F₁PF₂=

5

2

，
代入②并整理，可得m²+n²=9…③，
用①减去③，可得2mn=7，解得mn=

7

2

，即|

PF1

|•|

PF2

|=

7

2

．
故选：C

点评：本题已知椭圆上点P与两个焦点构成向量的数量积，求P到两个焦点的距离之积．着重考查了椭圆的定义与标准方程、向量的数量积公式和余弦定理等知识，属于中档题．