Question

14．某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是$\frac{15}{28}$．
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生 前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）

Answer 1

分析 （1）设男生有x人，由$\frac{{C_x^2C_{9-x}^1}}{C_9^3}=\frac{15}{28}$，可解得，x=6，于是可知该小组中男女学生的人数；
（2）（方法一）按坐座位的方法：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，第二步：余下的座位让3个女生去坐，利用分步乘法计数原理可得答案；
（方法二）除序法：第一步：9名学生站队共有$A_9^9$种站队方法；第二步：3名女生有$A_3^3$种站队顺序，依题意可得答案；
（3）第一步：将6名男生分成3组；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，第三步：3组男生中每组男生站队，利用分步乘法计数原理可得答案．

解答 解：（1）设男生有x人，则$\frac{{C_x^2C_{9-x}^1}}{C_9^3}=\frac{15}{28}$，即x（x-1）（9-x）=90，解之得，x=6
故男生有6人，女生有3人．…4分
（2）（方法一）按坐座位的方法：
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有$A_9^6$=60480种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；
故，一共有60480×1-1=60479种重新站队方法．…8分
（方法二）除序法：
第一步：9名学生站队共有$A_9^9$种站队方法；
第二步：3名女生有$A_3^3$种站队顺序；
故一共有$\frac{A_9^9}{A_3^3}$-1=60480-1=60479种重新站队方法．…8分
（3）第一步：将6名男生分成3组，共有$\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}=15$种；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有$A_3^3×A_4^3=144$种
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有${（A_2^2）^3}=8$种
故一共有：15×144×8=17280种站队方法．…12分．

点评 本题考查排列组合的实际应用，突出考查分步乘法计数原理的理解与运用，考查分析、运算能力，属于难题．