Question

已知函数f（x）=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中m＞0，且函数f（x）满足f（x+4）=f（x）．若F（x）=3f（x）-x恰有5个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、(

  15

  3

  ，

  7

  )
• B、(

  15

  3

  ，

  8

  3

  )
• C、(

  4

  3

  ，

  7

  3

  )
• D、(

  4

  3

  ，

  8

  3

  )

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=

x

3

与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．

解答：解：∵当x∈（-1，1]时，将函数y=f（x）=m

1-x2

 化为方程x2+

y2

m

=1(y≥0)，
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示．
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]时，f（x）=1-|x-2|的图象．
由f（x+4）=f（x），可得函数f（x）的周期为4，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由于F（x）=3f（x）-x恰有5个零点，可得直线y=

x

3

与第二个半椭圆(x-4)2+

y2

m

=1(y≥0)相交，
而与第三个半椭圆(x-8)2+

y2

m

=1(y≥0)无公共点时，F（x）恰有5个零点．
将y=

x

3

代入(x-4)2+

y2

m

=1(y≥0)得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
则（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，
再由9m²＞15，且m＞0得 m＞

15

3

．
同样由y=

x

3

与第三个椭圆(x-8)2+

y2

m

=1(y≥0)由△＜0可计算得 m＜

7

．
综上可知m∈(

15

3

，

7

)，
故选：A．

点评：本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，分段函数的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．