题目内容
2．已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB=1时，直线l的倾斜角为（ ）| A． | 150° | B． | 120° | C． | 120°或60° | D． | 150°或30° |
分析 判断曲线的形状，利用三角形的面积求出∠AOB，推出原点到直线的距离，建立方程求出直线的斜率，然后求解倾斜角．
解答 解：曲线y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$，表示的图形是以原点为圆心半径为$\sqrt{2}$的上半个圆，
过定点P（2，0）的直线l设为：y=k（x-2）．（k＜0）即kx-y-2k=0．
S△AOB=1．
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$sin∠AOB=1，
可得∠AOB=90°，
三角形AOB是等腰直角三角形，原点到直线的距离为：1．
∴1=$\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∵k＜0．∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线的倾斜角为150°．
故选：A．
点评 本题考查直线与曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想以及计算能力．
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