Question

5．将圆x²+y²=1上每一点的横坐标都伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标都伸长为原来的2倍，得到曲线C．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为$（2，\frac{2π}{3}）$，且点P关于直线$θ=\frac{5π}{6}$的对称点为点Q，设直线PQ与曲线C相交于A、B两点，求线段AB的垂直平分线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）依题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\sqrt{3}x}\\{y'=2y}\end{array}}\right.$，则$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{{\sqrt{3}}}x'}\\{y=\frac{1}{2}y'}\end{array}}\right.$，代入x²+y²=1中，可得曲线C的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$，即可求曲线C的参数方程；
（2）求出直线PQ的直角坐标方程，与椭圆方程联立，可得AB的中点的坐标，求出线段AB的垂直平分线的方程，化为极坐标方程即可．

解答 解：（1）设（x'，y'）为曲线C上的点，圆上的点的坐标为（x，y），
依题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\sqrt{3}x}\\{y'=2y}\end{array}}\right.$，则$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{{\sqrt{3}}}x'}\\{y=\frac{1}{2}y'}\end{array}}\right.$，代入x²+y²=1中，得$\frac{{{{x'}^2}}}{3}+\frac{{{{y'}^2}}}{4}=1$．
∴曲线C的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$，参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.（α$为参数）…（6分）
（2）∵点P$（2，\frac{2π}{3}）$的直角坐标为$（-1，\sqrt{3}）$，直线$θ=\frac{5π}{6}$的直角坐标方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．
∴直线PQ的斜率为$\sqrt{3}$，直角坐标方程为$y-\sqrt{3}=\sqrt{3}（x+1）$，即$y=\sqrt{3}（x+2）$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+2）}\\{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$得13x²+36x+24=0．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{36}{13}$，∴AB的中点的坐标为$（-\frac{18}{13}，\frac{{8\sqrt{3}}}{13}）$．
∴线段AB的垂直平分线的方程为$y-\frac{{8\sqrt{3}}}{13}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x+\frac{18}{13}）$，即$x+\sqrt{3}y-\frac{6}{13}=0$，
化为极坐标方程是$ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ-\frac{6}{13}=0$…（12分）

点评 本题考查曲线的参数方程、极坐标方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．