Question

（本小题满分13分）已知函数（其中是常数）.

（1）若当时,恒有成立,求实数的取值范围；

（2）若存在,使成立,求实数的取值范围；

（3）若方程·在上有唯一实数解,求实数的取值范围.

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：把函数，我们用变量代换，转化为：

为二次函数，按二次函数的性质去讨论.

试题解析：（1）,令,当时,.问题转化为当时，恒成立.

于是,只需在上的最大值,即,解得.

实数的取值范围是

（2）若存在,使,则存在,使.于是,只需在上的最小值,即,解得

实数的取值范围是

（3）若方程·在上有唯一实数解,

则方程在上有唯一实数解.

因，

故在上不可能有两个相等的实数解.

令.

因,故只需,解得.

实数的取值范围是

考点：函数单调性的应用及最大最小值。