Question

20．已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 22
• C． -3
• D． 13

Answer 1

分析 根据f（x）的定义域为[1，9]，求出y=[f（x）]²+f（x²）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数y=[f（x）]²+f（x²））=（log₃x）²+6log₃x+6，令log₃x=t，1≤x≤3，0≤t≤1，由二次函数的性质即可求得函数y=[f（x）]²+f（x²）．

解答 解：y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6，
∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤9}\\{1≤{x}^{2}≤9}\end{array}\right.$，解得：1≤x≤3，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6定义域是{x|1≤x≤3}．
令log₃x=t，1≤x≤3，
∴0≤t≤1，
∴y=t²+6t+6，0≤t≤1，
y=t²+6t+6，在[0，1]上是增函数，
当t=1时，即x=3时，
y取最大值，最大值为13，
故选：D．

点评 本题考查换元法求函数的值域求法，考查函数定义域的应用及一元二次函数的最值，考查转化思想，属于中档题．