Question

5．若函数$f（x）=\frac{x}{2}+ln\sqrt{x}$在某区间[a，b]上的值域为[ta，tb]，则t的取值范围（$\frac{1}{2}$，$\frac{1+e}{2e}$）．

Answer 1

分析 由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{1}{2}lna=ta}\\{\frac{b}{2}+\frac{1}{2}lnb=tb}\end{array}\right.$，即$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx=tx$在（0，+∞）上有2个不等实数根，故函数y=$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx$的图象与函数y=tx的图象在（0，+∞）上有两个不同的交点．求得t的范围．

解答 解：函数$f（x）=\frac{x}{2}+ln\sqrt{x}$在（0，+∞）为增函数，某区间[a，b]上的值域为[ta，tb]，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}+\frac{1}{2}lna=ta}\\{\frac{b}{2}+\frac{1}{2}lnb=tb}\end{array}\right.$，即$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx=tx$，变形为$\frac{1}{2}lnx=x（t-\frac{1}{2}）$在（0，+∞）上有2个不等实数根，
故函数y=$\frac{1}{2}lnx$的图象与函数y=（t-$\frac{1}{2}$）x的图象在（0，+∞）上有两个不同的交点，
∴t-$\frac{1}{2}$＞0，解得：t$＞\frac{1}{2}$
令F（x）=$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}lnx$-tx
则F′（x）=$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}-t$
令F′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2t-1}$
故当x=$\frac{1}{2t-1}$是函数y=$\frac{1}{2}lnx$的图象与函数y=（t-$\frac{1}{2}$）x的图象切点．
故得$（t-\frac{1}{2}）\frac{1}{2t-1}=\frac{1}{2}ln（\frac{1}{2t-1}）$，
解得：t=$\frac{1+e}{2e}$
故得t的取值范围是$\frac{1}{2}＜t＜\frac{1+e}{2e}$．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{1+e}{2e}$）

点评 本题主要考查求函数的定义域和值域，构造函数的思想，属于中档题．