Question

16．（1）定义在（-1，1）上的奇函数f（x）为减函数，且f（1-a）+f（1-a²）＞0，则实数a的取值范围为（1，$\sqrt{2}$）．
（2）定义在[-2，2]上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）为减函数，若g（1-m）＜g（m）成立，则m的取值范围为[-1，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）根据题意，将题中不等式转化成f（1-a）＜-f（1-a²），利用f（x）是定义在（-1，1）上的减函数得到关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．
（2）由题设条件函数是一个定义在[-2，2]上的偶函数g（x）满足：当x≥0时，g（x）单调递减，故可根据偶函数的性质得出函数的单调性，然后由单调性将不等式转化为一次不等式即可，转化时要注意定义域的限制，保证转化等价．

解答 解：（1）由f（1-a）+f（1-a²）＞0，得f（1-a）＞-f（1-a²）．
∵f（x）是奇函数，
∴-f（1-a²）=f（a²-1）．
于是f（1-a）＞f（a²-1）．
又由于f（x）在（-1，1）上是减函数，
因此$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜{a}^{2}-1}\\{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$
解得1＜a＜$\sqrt{2}$．
（2）：∵定义在[-2，2]上的偶函数g（x）满足：当x≥0时，g（x）单调递减
∴偶函数g（x）在[-2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，即自变量的绝对值越小，函数值越大
∵g（1-m）＜g（m），
∴$\left\{\begin{array}{l}{|1-m|＞|m|}\\{-2≤1-m≤2}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$，解得-1≤m＜$\frac{1}{2}$．
故答案为（1，$\sqrt{2}$）；[-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题给出函数的单调性，求解关于a（m）的不等式．着重考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法等知识，属于中档题．