Question

12．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求三棱锥B-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得出AE⊥PA，由△ABC是等边三角形得出AE⊥AD，故而AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；
（2）由AE⊥平面PAD可知∠EHA为直线EH与平面PAD所成的角，故而当AH⊥PD时，∠EHA最大，求出此时PA的长，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，又E为BC的中点，
∴∠EAC=30°，∠DAC=60°，
∴∠EAD=90°，即AE⊥AD．
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（2）由（1）得AE⊥平面PAD，
∴∠EHA为直线EH与平面PAD所成的角．
∴tan∠EHA=$\frac{AE}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{AH}$．
∴当AH最短时，tan∠EHA取得最大值$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
即当AH⊥PD时，tan∠EHA=$\frac{\sqrt{3}}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AH=$\sqrt{2}$．又AD=2，∴∠ADH=45°，
∴PA=AD=2，
∴V_B-AEF=V_F-ABE=$\frac{1}{2}{V}_{P-ABE}$=$\frac{1}{6}{S}_{△ABE}•PA$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．