Question

2．（1）分别写出下列函数：y=log₂x，x∈[$\frac{1}{2}$，4]，y=cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]的最小值和最大值；
（2）设函数y=f（x）的定义域为D，最小值为m，最大值为M，若m∈D且M∈D，则称y=f（x），x∈D为“B函数”；
①从第（1）小题给出的两个函数中，选出“B函数”；
②若f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，x∈[1，b]为“B函数”，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分析两个函数的单调性，进而可得函数的最小值和最大值；
（2）①根据“B函数”的定义，结合（1）中求出的最值，可得答案；
②根据“B函数”的定义，结合二次函数的图象和性质，可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵y=log₂x，x∈[$\frac{1}{2}$，4]为增函数，
故当x=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值-1，当x=4时，函数取最大值2；
∵y=cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]在[-$\frac{π}{3}$，0]上为增函数，在[0，$\frac{π}{2}$]上为减函数，
且cos（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，cos$\frac{π}{2}$=0，
故当x=$\frac{π}{2}$时，函数取最小值0，当x=0时，函数取最大值1；
（2）①函数y=log₂x，x∈[$\frac{1}{2}$，4]的最小值-1∉[$\frac{1}{2}$，4]，不满足“B函数”的定义；
函数y=cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]的最大值1和最小值0均属于定义域，满足“B函数”的定义；
综上：函数y=cosx，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]为“B函数”；
②f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
当x∈D=[1，b]时，函数为增函数，
∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，x∈[1，b]为“B函数”，
∴当x=1时，函数取最小值1∈D，
当x=b时，函数取最大值$\frac{{b}^{2}-2b+3}{2}$∈（1，b]，
解得：b∈（1，3]

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，新定义“B函数”，正确理解新定义的涵义是解答的关键．