Question

12．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=2，2S_n=（n+1）a_n，若存在唯一的正整数n使得不等式a_n²-ta_n-2t²≤0成立，则实数t的取值范围为（-4，-2]∪[1，2）．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，进一步得到a_n=2n．代入不等式a_n²-ta_n-2t²≤0，可得2n²-tn-t²≤0．设f（n）=2n²-tn-t²，由于f（0）=-t²≤0，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2-t-{t}^{2}≤0}\\{f（2）=8-2t-{t}^{2}＞0}\end{array}\right.$，求解不等式得答案．

解答 解：由2S_n=（n+1）a_n，得${S}_{n}=\frac{（n+1）{a}_{n}}{2}$，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{（n+1）{a}_{n}}{2}-\frac{n{a}_{n-1}}{2}$，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，又a₁=2，故a_n=2n．
不等式a_n²-ta_n-2t²≤0可化为（2n）²+2tn-2t²≤0，
即2n²-tn-t²≤0．
设f（n）=2n²-tn-t²，
由于f（0）=-t²≤0，
∴由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2-t-{t}^{2}≤0}\\{f（2）=8-2t-{t}^{2}＞0}\end{array}\right.$，解得：-4＜t≤-2或1≤t＜2．
∴实数t的取值范围为：（-4，-2]∪[1，2）．
故答案为：（-4，-2]∪[1，2）．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．