Question

8．已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x），在x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+2^-x．（1）求f（x）在（-1，1）上的表达式；
（2）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式m•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立，求实数m的取值范围；
（3）解不等式f（2x）+f（2x-1）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数，结合x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+2^-x，求f（x）在（-1，1）上的表达式；
（2）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式m•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立，可得m≥-1+$\frac{2}{{4}^{x}+1}$，求出右边的最大值，即可求实数m的取值范围；
（3）判断f（x）在（-1，1）上是减函数，再解不等式f（2x）+f（2x-1）＞0．

解答 解：（1）由题意f（0）=0，
设x∈（0，1），-x∈（-1，0），
∴f（x）=-f（-x）=-（2^x+2^-x），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+{2}^{-x}，x∈（-1，0）}\\{0，x=0}\\{-（{2}^{x}+{2}^{-x}），x∈（0，1）}\end{array}\right.$；
（2）∵对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式m•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立，
∴m≥-1+$\frac{2}{{4}^{x}+1}$，
∵x∈（0，1），
∴-1+$\frac{2}{{4}^{x}+1}$∈（-$\frac{3}{5}$，0），
∴m≥0；
（3）由题意f（x）在（-1，0）上是减函数，函数是奇函数，∴f（x）在（-1，1）上是减函数，
由f（2x）＞-f（2x-1）=f（1-2x），得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2x＜1}\\{-1＜2x-1＜1}\\{2x＜1-2x}\end{array}\right.$，
∴0＜x＜$\frac{1}{4}$，
∴不等式的解集为{x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．