题目内容
已知数列{an}满足an+1=pan2+q（p，q∈R，n∈N+）则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①若a2=q，则a1=0；
②存在p，对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列；
③当p=1，q=0且a1=10时，lgan=2n-1；
④若p=
，q=
且a1为奇数，则数列{an}的所有项都是奇数；
⑤若p=
，q=
，a1＞0且an+1＞an，则0＜a1＜1或a1＞3．
①若a2=q，则a1=0；
②存在p，对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列；
③当p=1，q=0且a1=10时，lgan=2n-1；
④若p=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
⑤若p=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
考点：数列递推式
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：根据数列的递推关系，分别进行判断即可得到结论．
解答：
解：①若a2=q，a2=pa12+q=q．即pa12=0，则a1=0或p=0，当p=0时，结论不成立，故①错误；
②若存在p，对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}是非零的常数列，
设an=c，（c≠0），
则方程等价为c=pc2+q，即pc2-c+q=0；
则q=c-pc2，若p的常数，则q=c-pc2，也是常数，则对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列不成立，故②错误，
③当p=1，q=0且a1=10时，an+1=an2，则a2=a12=102，a3=a22=（102）2=104，
a4=a32=108，an=an-12=102n-1，则lgan=2n-1成立，故③正确，
④若p=
，q=
且a1为奇数，则an+1=
an2+
=
（an2+3），若an为奇数，
设a1=2n+1，an+1=
[（2n+1）2+3]=
（4n2+4n+1+3）=n2+n+1=n（n+1）+1是奇数，故数列{an}的所有项都是奇数正确，故④正确，
⑤若p=
，q=
，a1＞0且an+1＞an，则an＞0，且an+1=
an2+
＞an，
即an2-4an+3＞0，∴0＜an＜1或an＞3，∴0＜a1＜1或a1＞3正确，故⑤正确．
故答案为：③④⑤
②若存在p，对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}是非零的常数列，
设an=c，（c≠0），
则方程等价为c=pc2+q，即pc2-c+q=0；
则q=c-pc2，若p的常数，则q=c-pc2，也是常数，则对于任意的q∈R，数列{an}既是等差数列又是等比数列不成立，故②错误，
③当p=1，q=0且a1=10时，an+1=an2，则a2=a12=102，a3=a22=（102）2=104，
a4=a32=108，an=an-12=102n-1，则lgan=2n-1成立，故③正确，
④若p=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
设a1=2n+1，an+1=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
⑤若p=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
即an2-4an+3＞0，∴0＜an＜1或an＞3，∴0＜a1＜1或a1＞3正确，故⑤正确．
故答案为：③④⑤
点评：本题主要考查数列的递推关系的应用，根据相关结论进行推理是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
相关题目
如图，AE是的⊙O切线，A是切点，AD⊥OE于点D，割线EC交⊙O于B，C两点．定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（4-x），且x∈（-1，2）时，f（x）=
，则函数g（x）=3f（x）-x，x∈R的零点个数为（ ）
|
| A、5 | B、4 | C、3 | D、6 |
某企业一天中不同时刻用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数y=f（t）近似地满足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），如图是该企业一天中在0点到12点时间段用电量y与时间t的大致图象．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）
| A、24cm3 |
| B、40cm3 |
| C、36cm3 |
| D、48cm3 |