Question

19．设函数f（x）=2sinxcos²$\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π）在x=π处取得最小值，且满足cos2C-cos2A=2sin（$\frac{π}{3}$+C）sin（$\frac{π}{3}$-C）．
（1）求φ的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=$\sqrt{2}$，f（A）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求角C．

Answer 1

分析 （1）对f（x）化简，再由在x=π处取得最小值，得到φ的值．
（2）由正弦定理得到A，由此得到C．

解答 解析：（1）首先化简原函数f（x）=sinx（1+cosφ）+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
由f（π）=sin（π+φ）=-sinφ=-1，又0＜φ＜π，解得$φ=\frac{π}{2}$，
（2）$f（A）=sin（A+\frac{π}{2}）=cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}⇒A=\frac{π}{6}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}⇒sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
当$B=\frac{π}{4}$时，$C=π-\frac{π}{4}-\frac{π}{6}=\frac{7π}{12}$，
当$B=\frac{3π}{4}$时$C=π-\frac{3π}{4}-\frac{π}{6}=\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查三角函数的两角和的余弦公式和正弦公式化简，以及正弦定理．