Question

10．已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，满足S₄=-8，$\frac{1}{2}＜d＜1$，则当S_n取得最小值时，n的值为5．

Answer 1

分析 根据等差数列的前n和为S₄=-8，用d表示出a₁，带入前n项和S_n中转化为二次函数问题求解最值即可．

解答 解：等差数列{a_n}的公差为d，S₄=-8，
即-8=4a₁+6d．
可得：a₁=$-\frac{4+3d}{2}$．
那么：${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{d}{2}{n}^{2}-（2+2d）n$．
当n=$\frac{2+2d}{2×\frac{d}{2}}=\frac{2}{d}+2$时，S_n取得最小值．
∵$\frac{1}{2}＜d＜1$．
∴$\frac{1}{2}$$＜\frac{2}{n-2}＜1$，即$1＜\frac{n-2}{2}＜2$，
解得：4＜n＜6．
n∈N*，
∴n=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和的最值问题和转化思想，属于中档题．