Question

1．在数列{a_n}中，a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N^*），则a₂₀₁₆的值为（　　）

• A． $-\frac{1}{4}$
• B． 5
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N^*），利用递推思想求出数列的前4项，从而得到{a_n}是以3为周期的周期数列，由此能求出a₂₀₁₆．

解答 解：∵在数列{a_n}中，a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2，n∈N^*），
∴${a}_{2}=1-\frac{1}{-\frac{1}{4}}$=5，
${a}_{3}=1-\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$，
${a}_{4}=1-\frac{1}{\frac{4}{5}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴{a_n}是以3为周期的周期数列，
∵2016=672×3，
∴a₂₀₁₆=a₃=$\frac{4}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查数列的递推公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出{a_n}是以3为周期的周期数列．