Question

设抛物线y²=8x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为2，则|AB|=

 

．

Answer 1

分析：依题意，线段AB的中点为M（2，y₀），设A在准线x=-2上的射影为A′，B在准线x=-2上的射影为B′，M在直线x=-2上的射影为M′，依题意，MM′为梯形AA′B′B的中位线，于是有|MM′|=

1

2

|AB|，利用M到准线x=-2距离为4即可求得答案．

解答：解：依题意，抛物线y²=8x的准线方程为：x=-2，
依题意，线段AB的中点为M（2，y₀），

设A在准线x=-2上的射影为A′，B在准线x=-2上的射影为B′，M在直线x=-2上的射影为M′，
MM′为梯形AA′B′B的中位线，故|MM′|=

1

2

（|AA′|+|BB′|）=

1

2

（|AF|+|FB|）=

1

2

|AB|
又M到准线x=-2距离d=|MM′|=2-（-2）=4，
∴|AB|=8．
故答案为：8．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义与梯形中位线定理的应用，考查作图与识图能力，属于中档题．