Question

8．已知向量$\overrightarrow a$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$sin x，cos 2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f （x）的最小正周期及单调递增区间
（2）求f（x）在[0，$\frac{3π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先根据向量的数量积公式，和三角函数基本公式化简得到f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），再根据正弦函数的周期和单调性即可求出答案，
（2）根据（1）的结论得到函数的单调区间，即可求出最值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$sin x，cos 2x），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，
（2）由（1）可知，函数f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上单调递增，在（$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{π}{3}$）=1，
∵f（0）=sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，f（$\frac{3π}{4}$）=sin（$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=-sin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）_min=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查了向量的数量积公式和三角函数的化简和正弦函数的性质，属于基础题．