Question

（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

 

Answer 1

（1）π﹣2，65°26′，（π﹣2）r2．

（2）当α=2rad时，扇形的面积取最大值．

【解析】

试题分析：（1）设扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数，再化为度数，利用扇形的面积公式求扇形的面积．

（2）设出弧长和半径，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，转化为关于半径的二次函数，配方求出面积的最大值．

【解析】
（1）设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，

所以扇形的周长是2r+rθ．依题意，得2r+rθ=πr，

∴θ=π﹣2=（π﹣2）×≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，

∴扇形的面积为S=r2θ=（π﹣2）r2．

（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20，

即l=20﹣2r（0＜r＜10）①

扇形的面积S=lr，将①代入，得S=（20﹣2r）r=﹣r2+10r=﹣（r﹣5）2+25，

所以当且仅当r=5时，S有最大值25．此时

l=20﹣2×5=10，α==2．所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值．