Question

3．设A，B在圆x²+y²=1上运动，且|AB|=$\sqrt{3}$，点P在直线3x+4y-12=0上运动，则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{17}{5}$
• D． $\frac{19}{5}$

Answer 1

分析 设AB的中点为D，则由题意，$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{PO}$+2$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{PD}$，当且仅当O，D，P三点共线时，|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y-12=0，OP⊥AB．

解答 解：设AB的中点为D，则
由题意，$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{PO}$+2$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴当且仅当O，D，P三点共线时，|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y-12=0，OP⊥AB，
∵圆心到直线的距离为$\frac{12}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{12}{5}$，OD=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值为2（$\frac{12}{5}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{19}{5}$．
故选D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查点到直线的距离公式，正确转化是关键．