题目内容

已知函数 $数学公式$ （a≠0，x≠0）．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
（3）若关于t（t≠0）的方程 $数学公式$ 有实数解，求a的取值范围．

（1）证明：任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（1分）
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（3分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是增函数 …（5分）
（2）可得 $\text{[math]}$ …（6分）
∴ $\text{[math]}$ ，又因为F（-x）为奇函数，
所以 $\text{[math]}$ …（8分）
解得 a=1或 a=-1…（10分）
（3）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，令 m=t²，（m＞0）…（12分）
所以本题等价于关于m的方程 $\text{[math]}$ 有正数解． …（14分）
令 $\text{[math]}$ ，其对称轴为 $\text{[math]}$ ，
∴F（m）在区间 $\text{[math]}$ 为增函数，
所以有 $\text{[math]}$ ，解得0＜a＜1…（16分）
分析：（1）证明：任取x₁＞x₂＞0，作差f（x₁）-f（x₂，证明其结果＞0即可；
（2）由奇函数的性质可得 $\text{[math]}$ ，解之可得；
（3）可得 $\text{[math]}$ ，令 m=t²，问题等价于关于m的方程 $\text{[math]}$ 有正数解．构造函数 $\text{[math]}$ ，只需 $\text{[math]}$ ，解之可得．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数的奇偶性的判断，属基础题．