题目内容

设y=f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x2-12x+16，则f（x）=2的所有根之和等于（　　）
分析：f（x+1）为奇函数可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，从而可求x＜1时的函数解析式，进而解方程f（x）=2可得
解答：解：∵f（x+1）为奇函数，
∴函数图象关于（0，0）对称，
即函数f（x）的图象关于（1，0）对称
∵当x＞1时，f（x）=2x2-12x+16，
当x＜1时，f（x）=-2x2-4x
令2x2-12x+16=2，
即x2-6x+7=0，
可得x1+x2=6，
令-2x2-4x=2，
即x2+2x+1=0，可得x3=-1
∴横坐标之和为x1+x2+x3=6-1=5
故选B．
点评：本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上的解析式．考查性质的灵活应用．
练习册系列答案
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设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；
（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．
设y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f（x）的判断：
①y=f（x）是周期函数；
②y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
③y=f（x）在[0，1]上是增函数；
④f(
12
)=0．
其中正确判断的序号是
 
．（把你认为正确判断的序号都填上）
设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．
（1）判断f(x)=
3
x
(x＞0)是否为凹函数？
（2）已知函数f2（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；
（3）设定义在R上的函数f3（x）满足对于任意实数x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求证：f3（x）为R上的凹函数．
（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得
|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
，1]
；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

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