Question

3．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，乙队每人答对的概率都是$\frac{2}{3}$．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求ξ=2概率；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设，利用相互独立事件的概率公式，求ξ=2概率；
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由公式能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）$P（ξ=2）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$；…（4分）
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B则
$P（A）=\frac{1}{4}×C_3^3{（{\frac{2}{3}}）^3}+\frac{11}{24}×C_3^2{（{\frac{2}{3}}）^2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×C_3^1（{\frac{2}{3}}）×{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{1}{3}$，
$P（AB）=\frac{1}{4}×C_3^1（{\frac{2}{3}}）×{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{1}{18}$，
∴$P（B|A）=\frac{P（AB）}{P（A）}=\frac{{\frac{1}{18}}}{{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{6}$…（12分）

点评 本题考查概率的计算，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．