Question

8．偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且当x∈[-1，0]时，f（x）=-x，则函数g（x）=f（x）-lgx在x∈（0，10）上的零点个数是（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．

解答 解：∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2．                         
又∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
又当x∈[-1，0]时，f（x）=-x，∴x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．
设 y₁=f（x），y₂=lgx，x=10，y₂=1
函数g（x）=f（x）-lgx在（0，10）上的零点的个数如图：
即为函数y₁=f（x），y₂=lgx的图象交点的个数为9个．
函数g（x）=f（x）-lgx有9个零点
故选：B．

点评 本题考查函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想．转化思想，属中档题．