Question

2．已知函数f（x）=ax-（a+1）lnx，a∈R．
（I）当a=1时，求函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a∈（0，1），x∈[1，e]时，比较f（x）与$\frac{1}{x}$+1的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；
（Ⅱ）令g（x）=ax-（a+1）lnx-$\frac{1}{x}$-1，求出g（x）的导数，根据a，x的范围，判断函数的单调性，求出g（x）的最大值，从而比较大小即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x-2lnx，
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，∴f′（1）=-1，
而f（1）=1，
故切线方程是：y-1=-（x-1），
即x+y-2=0；
（Ⅱ）令g（x）=ax-（a+1）lnx-$\frac{1}{x}$-1，
g′（x）=$\frac{{ax}^{2}-（a-1）x+1}{{x}^{2}}$，
∵a∈（0，1），x∈[1，e]，
∴ax²＞0，a-1＜0，（a-1）x＜0，
∴ax²-（a-1）x+1＞0，
∴g′（x）＞0，
g（x）在[1，e]递增，
∴g（x）_max=g（e）=a（e-1）-2-$\frac{1}{e}$＜e-3-$\frac{1}{e}$＜0，
∴a∈（0，1），x∈[1，e]时，f（x）＜$\frac{1}{x}$+1．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．