Question

如图，平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°，则当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？

Answer 1

解：设，，，由已知|a|=|b|，

=(a+b+c)(a-b)=|a|²-|b|²+ac-bc=|a||c|cos60°-|b||c|cos60°=0，

∴CA₁⊥BD.

因而A₁C⊥平面C₁BD的充要条件是CA₁⊥C₁D.

由=(a+b+c)(a-c)=0|a|²+ab-bc-|c|²=0|a|²+|a||b|cos60°-|b||c|cos60°-|c|²=0(3|a|+2|c|)(|c|-|a|)=0.

∵|a|＞0,|c|＞0,∴|a|=|c|.∴当时，A₁C⊥平面C₁BD.

启示：这是条件开放性问题，从结论出发，利用向量垂直的条件由线线垂直推出线面垂直.本题通过利用向量的几何运算法则及向量的数量积运算大大降低了探索难度.