Question

16．已知数列{a_n}满足：${a_1}∈{N^*}$，且${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤p\\ 2{a_n}-6，{a_n}＞p\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$．记集合$M=\left\{{{a_n}\left|{n∈{N^*}}\right.}\right\}$．
（1）若p=90，a₂=6，写出数列{a_n}的前7项；
（2）若p=18，集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．

Answer 1

分析 （1）由递推关系：6=a₂=2a₁，解得a₁，进而得出．
（2）集合M存在一个元素是3的倍数，不妨设a_k是3的倍数，由a_n+1=${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤p\\ 2{a_n}-6，{a_n}＞p\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，p=18．可归纳证明对任意n≥k，a_n是3的倍数．

解答 （1）解：∵${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤p\\ 2{a_n}-6，{a_n}＞p\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，p=90，a₂=6，
∴6=a₂=2a₁，解得a₁=3．
∴a₃=2a₂=12，a₄=2a₃=24，a₅=2a₄=48，a₆=2a₅=96，a₇=2a₆-6=186．
（2）证明：∵集合M存在一个元素是3的倍数，不妨设a_k是3的倍数，
由a_n+1=${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤p\\ 2{a_n}-6，{a_n}＞p\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，p=18．可归纳证明对任意n≥k，a_n是3的倍数．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，∵a_k=2a_k-1，或a_k=2a_k-1-6，∴2a_k-1是3的倍数；于是a_k-1是3的倍数；
类似可得，a_k-2，…，a₁都是3的倍数；
从而对任意n≥1，a_n是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数

点评 本题考查了数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．