Question

13．已知函数f（x）=x²+alnx的图象与直线l：y=-2x+c相切，切点的横坐标为1．
（1）求函数f（x）的表达式和直线l的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的几何意义求直线方程．（2）利用导数求函数的单调区间．

解答 解：（1）因为f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，所以-2=f'（1）=2+a，所以a=-4，
所以f（x）=x²-4lnx，
所以f（1）=1，所以切点为（1，1），所以c=3，
所以直线l的方程为y=-2x+3；
（2）因为f（x）的定义域为x∈（0，+∞），
所以由f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-4}{x}$＞0得x＞$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\sqrt{2}$，
故函数f（x）的单调减区间为（0，$\sqrt{2}$），单调增区间为（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握函数的单调性、最值和极值与导数的关系．