Question

12．若抛物线y=x²-6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且CA⊥CB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，根据抛物线y=x²-6x+5与坐标轴的交点都在圆C上，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，即可得到圆的方程；
（2）利用△CAB为等腰直角形，则点C到直线距离为$\frac{{\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}$，通过解方程确定出a的值．

解答 解：（1）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得x²+Dx+F=0；
y=x²-6x+5中，令y=0得x²-6x+5=0．
由题意得，D=-6，F=5．
又抛物线过点（0，5），代入圆方程得E=-6，
所以圆C的方程为x²+y²-6x-6y+5=0；
（2）由题意知，圆心坐标为（3，3），半径为$\sqrt{13}$，
△CAB为等腰直角形，则点C到直线距离为$\frac{{\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}$，即$\frac{|a|}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}$，
解得$a=±\sqrt{13}$．

点评 本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．