Question

（本小题满分14分）如图，四棱柱中，?底面ABCD，且. 梯形ABCD的面积为6，且AD//BC，AD=2BC，. 平面与交于点E.

（1）证明：EC//；

（2）求三棱锥的体积；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

(1)证明见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）直线与平面平行、垂直及平面与平面平行、垂直的判定定理、性质定理的应用时，都是转化到平面中进行的，体现了转化与化归思想；（3）证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）证明：因为，，

，所以. （1分）

因为，，

，所以. （2分）

又，，

，所以. （3分）

又，，

所以EC//. （4分）

（2）【解析】
因为，BC//AD，AD=2BC，所以.

（6分）

所以. （8分）

（3）如图，以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.

（9分）

设，BC=a，则AD=2a.

因为，所以.（10分）

所以，，

所以，. （11分）

设平面的一个法向量，

由，得，所以.（12分）

又平面ABCD的一个法向量， （13分）

所以，所以二面角的大小为. （14分）

考点：1、直线与直线平行的判定；2、求三棱锥的体积；3、二面角的大小.