Question

若数列{a_n}是公比为q的等比数列，但数列{a_n+a_n+1}不是等比数列，则公比q=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知写出a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，进一步得到a_n+a_n+1，a_n+1+a_n+2，作比后分类讨论得答案．

解答： 解：设数列{a_n}的首项为a₁，由题意知a_n=a₁q^n-1，a_n+1=a₁qⁿ，
a_n+a_n+1=a₁q^n-1+a₁qⁿ=a₁qⁿ（

1

q

+1），
a_n+1+a_n+2=a₁qⁿ+a₁qⁿ⁺¹=a₁qⁿ（1+q）
当q=-1时，数列{a_n+a_n+1}为a_n=0的一个常数列，是一个等差数列
当q≠-1时，

an+1+an+2

an+an+1

=

1 q +1

1+q

=

1

q

．
当q≠1时，

1

q

是一个不为1的常数，所以数列{a_n+a_n+1}是等比数列；
当q=1时，

1

q

=1，∴数列{a_n+a_n+1}是一个常数列，它既是等差数列，又是等比数列．
综上，满足数列{a_n}是公比为q的等比数列，但数列{a_n+a_n+1}不是等比数列的公比q=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了等比数列的定义，考查了等比数列的性质，属中档题．