Question

如图,已知正方体AC₁中,E、F分别是AB、AD的中点,求下列直线所成的角：

 (1)A₁C₁与BC；(2)A₁C₁与B₁C；(3)A₁C₁与EF.

Answer 1

思路解析：将异面直线平移成相交直线.

解：(1)∵BC∥B₁C₁,

∴A₁C₁与B₁C₁所成的锐角就是A₁C₁与BC所成的角.

∵∠A₁C₁B₁=45°,

∴A₁C₁与BC所成的角是45°.

(2)∵B₁C∥A₁D,

∴A₁C₁与A₁D所成的锐角就是A₁C₁与B₁C所成的角.

在△A₁C₁D中,

∵A₁C₁=A₁D=C₁D,

∴∠C₁A₁D=60°,即A₁C₁与B₁C所成的角是60°.

(3)∵EF是△ABD的中位线,

∴EF∥BD.

又BD∥B₁D₁,

∴B₁D₁∥EF.

∵A₁C₁⊥B₁D₁,

∴A₁C₁与EF所成的角是90°.

巧妙变式:如下图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CC₁的中点，求异面直线AE和BF所成角的余弦值.

思路解析：取DD₁的中点M,利用余弦定理，通过解△AEM，求得∠EAM的大小，即为两条异面直线所成的角.

方法归纳  构造异面直线所成角的方法常有：

(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点),作另一条直线的平行线,使异面直线所成角转化为相交直线所成的角(空间问题转化为平面问题)；

(2)当异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点；

(3)通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.