Question

19．已知函数f（x）=3sin（2x+φ），（|φ|＜$\frac{π}{2}$）向左平移$\frac{π}{3}$单位后是偶函数．
（1）求φ的值；
（2）求函数f（x）的最小值及相对应自变量x的集合．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象的平移变换法则，可求出平移后函数的解析式，进而根据正弦型函数的奇偶性，求出φ的值；
（2）由f（x）的解析式，当2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-1，进一步求出当x∈{x|x=$-\frac{π}{6}+kπ$（k∈Z）}时，3sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-3．

解答 解：（1）将函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象向左平移$\frac{π}{3}$单位后得到：
g（x）=3sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+φ]的图象，
即g（x）=3sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）．
∵函数g（x）为偶函数
∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=$kπ-\frac{π}{6}$，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）可得函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}+2kπ$，解得x=$-\frac{π}{6}+kπ$（k∈Z）时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-1，
∴函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-3．
∴3sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-3，此时x的取值集合为{x|x=$-\frac{π}{6}+kπ$（k∈Z）}．

点评 本题考查了根据函数图象的平移变换法则，求平移后函数的解析式，考查了三角函数取得最值时的集合，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．