Question

已知点M在椭圆上， 以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F。
（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
（2）若圆M与轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程。

Answer 1

解：（1）设，圆M的半径为r，依题意得

将代入椭圆方程为
所以
又
从而得
两边除以a²得：
解得：
因为
所以。
（2）因为是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，
圆M到y轴的距离
又由（1）知：，
所以，
又因为
解得，
所求椭圆方程是：。