Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow p$=（a，sinB+sinC），$\overrightarrow q$=（sinA-sinB，b-c），且$\overrightarrow p$⊥$\overrightarrow q$
（1）求角C；
（2）若边c=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直的坐标运算，正弦定理可得c²=a²+b²-ab，由余弦定理可得cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0°，180°），可求C的值．
（2）利用余弦定理，基本不等式可求（ab）_max=3，利用三角形的面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow p$=（a，sinB+sinC），$\overrightarrow q$=（sinA-sinB，b-c），且$\overrightarrow p$⊥$\overrightarrow q$，
∴a（sinA-sinB）+（b-c）（sinB+sinC），
∴c²=a²+b²-ab，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0°，180°），
∴C=60°…6分
（2）∵c²=3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴（ab）_max=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，即△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，当且仅当a=b=c时取得…12分

点评 本题主要考查了向量垂直的坐标运算，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．