Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若AB=CB=2，A₁C=$\sqrt{6}$，
（理科做）求二面角B-AC-A₁的余弦值．
（文科做）求三棱锥A-CA₁B的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B，推导出△AA₁B为等边三角形，从而OA₁⊥AB．由此能证明AB⊥A₁C．
（2）（理科做）由题设知△ABC与△AA₁B都是边长为2的等边三角形，从而OA₁⊥OC，进而OA₁⊥平面ABC，以O为原点，OA为x轴，OA₁为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-A₁的余弦值．
（2）（文科做）由V${\;}_{A-C{A}_{1}B}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$，能求出三棱锥A-CA₁B的体积．

解答 证明：（1）取AB的中点O，连接OC，OA₁，A₁B．
因为CA=CB，所以OC⊥AB．
由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
故△AA₁B为等边三角形，
所以OA₁⊥AB．
因为OC∩OA₁=O，
所以AB⊥平面OA₁C．
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C．
解：（2）（理科做）由题设知△ABC与△AA₁B都是边长为2的等边三角形，
所以OC=OA₁=$\sqrt{3}$．
又A₁C=$\sqrt{6}$，则A₁C²=OC²+O${{A}_{1}}^{2}$，故OA₁⊥OC．
因为OC∩AB=O，所以OA₁⊥平面ABC，
以O为原点，OA为x轴，OA₁为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$，A₁（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设平面AA₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角B-AC-A₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角B-AC-A₁的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）（文科做）
由OA₁⊥平面ABC，得OA₁=$\sqrt{3}$是三棱锥A₁-ABC的高．
又△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
故三棱锥A-CA₁B的体积：
V${\;}_{A-C{A}_{1}B}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×O{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．