已知在一次全国数学竞赛中.某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示．(1)求a的值.并估计该市学生在本次数学竞赛中.成绩在的[80.90)上的学生人数,(2)若在本次考试中选取1500人入围决赛.则进入复赛学生的分数应当如何制定, (3 ) 若以该市考生的成绩情况估计全省考生的成绩情况.从全省考生中随机抽取4名考生.记成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．

已知在一次全国数学竞赛中，某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示．
（1）求a的值，并估计该市学生在本次数学竞赛中，成绩在的[80，90）上的学生人数；
（2）若在本次考试中选取1500人入围决赛，则进入复赛学生的分数应当如何制定（结果用分数表示）；
（3 ）若以该市考生的成绩情况估计全省考生的成绩情况，从全省考生中随机抽取4名考生，记成绩在80分以上（含80分）的考生人数为X，求X的分布列和期望．

分析（1）由题意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，解得a．
（2）70+$\frac{5}{7}×（80-70）$=$\frac{540}{7}$．
（3）该市成绩在80分以上（含80分）的概率P=$\frac{2a+6a}{20a}$=$\frac{2}{5}$，可得X～B$（4，\frac{2}{5}）$．即可得出X的分布列与数学期望．

解答解：（1）由题意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，解得a=0.005．
∴成绩在的[80，90）上的学生人数=6×0.005×10×3000=900．
（2）70+$\frac{5}{7}×（80-70）$=$\frac{540}{7}$．
初试成绩大于或等于$\frac{540}{7}$的进入决赛．
（3）该市成绩在80分以上（含80分）的概率P=$\frac{2a+6a}{20a}$=$\frac{2}{5}$，∴X～B$（4，\frac{2}{5}）$．
∴P（X=k）=${∁}_{4}^{k}（\frac{2}{5}）^{k}（\frac{3}{5}）^{4-k}$，可得P（X=0）=$\frac{81}{625}$，P（X=1）=$\frac{216}{625}$，P（X=2）=$\frac{216}{625}$，P（X=3）=$\frac{96}{625}$，P（X=4）=$\frac{16}{625}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$

∴EX=$4×\frac{2}{5}$=1.6．

点评本题考查了二项分布列及其数学期望、频率分布直方图的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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