Question

13．已知数列1，1，2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到．求该数列的前n项和S_n．

Answer 1

分析 设数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，数列{b_n}的公差为d，列出方程组，求出通项公式，再由S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n），利用分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式可求．

解答 解：设数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，数列{b_n}的公差为d，
依题意得 0+a₁=1，①，d+a₁q=1，②，2d+a1q2=2，③．
由①②③解得：d=-1，q=2，a₁=1
∴a_n=2^n-1，b_n=1-n
∴S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=（1+2+…+2^n-1）-[0+1+…+（n-1）]
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$
=2ⁿ-1-$\frac{1}{2}$（n²-n）．

点评 本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用．