Question

若实数a，b，c满足2a+b=4，且ab+c=5，则abc的最大值是

 

．（代入换元）

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：实数a，b，c满足2a+b=4，只考虑为正数的情况，利用基本不等式可得4≥2

2ab

，即ab≤2．由于5=c+ab，可得c=5-ab，abc=（5-ab）ab=-(ab-

5

2

)2+

25

4

，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵实数a，b，c满足2a+b=4，
只考虑为正数的情况，
∴4≥2

2ab

，可得ab≤2，当且仅当2a=b=2时取等号．
∵5=c+ab，∴c=5-ab，
∴abc=（5-ab）ab=-（ab）²+5ab=-(ab-

5

2

)2+

25

4

≤-(2-

5

2

)2+

25

4

=6，当且仅当ab=2（a=1，b=2）时取等号．
∴abc的最大值是6．
故答案为：6．

点评：本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．