Question

已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且，，m∈R

（1）求的值；
（2）若在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意，≥0在上恒成立，
即．  
∵θ∈（0，π），
∴．
故在上恒成立，  
只须，
即，只有．
结合θ∈（0，π），得．
（2）由（1），得．
∴．
∵在其定义域内为单调函数，
∴或者在[1，＋∞）恒成立．
 等价于，即，
而，（）max=1，
∴．
等价于，
即在[1，＋∞）恒成立，
而∈（0，1]，
综上，m的取值范围是．
（3）构造，．
当时，，，，
所以在[1，e]上不存在一个x₀使得成立．
当时，．
因为，所以，，
所以在恒成立．
故在上单调递增，，
只要，
解得
故m的取值范围是。