已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.点P在双曲线的右支上.且|PF1|=4|PF2|.则此双曲线的离心率e的最大值为( )A．$\frac{4}{3}$B．$\frac{5}{3}$C．$\frac{5}{4}$D．2 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为（　　）

A．

$\frac{4}{3}$

B．

$\frac{5}{3}$

C．

$\frac{5}{4}$

D．

分析由题意可得|PF₁|-|PF₂|=2a，再由|PF₂|≥c-a，结合离心率公式，即可得到所求最大值．

解答解：点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有4|PF₂|-|PF₂|=2a，
则|PF₂|=$\frac{2}{3}$a，
由|PF₂|≥c-a，
即为c≤$\frac{5}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{5}{3}$，
当P与右顶点重合，取得最大值$\frac{5}{3}$，
故选：B．

点评本题考查双曲线的离心率的最值，注意运用双曲线的定义和范围，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案

16．已知 $\overrightarrow{a}$=（-l，3），$\overrightarrow{b}$=（2，-5），若 2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=5$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{c}$的坐标为（　　）

13．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求直角坐标系下曲线C₁与曲线C₂的方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．

20．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{b}$|=（　　）

2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支上的一点，△POF₁为等腰三角形，过点P作y轴的垂线，延长后交双曲线的左支于点Q，若$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$，则双曲线离心率为$\sqrt{3}$+1．

9．函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$给出下列结论正确的是（　　）

	A．	f（x）在$（\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}）$是减函数		B．	$f（x-\frac{π}{6}）$是奇函数
	C．	f（x）的一个对称中心为$（\frac{π}{6}，0）$		D．	f（x）的一条对称轴为$x=\frac{π}{6}$

6．若函数f（x）=lg（10^x+1）+ax是偶函数，g（x）=$\frac{{4}^{x}-b}{{2}^{x}}$是奇函数，则a+b的值是（　　）

7．

如图所示，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AD}$+y$\overrightarrow{AE}$（x，y∈R），则x+y的取值范围是[4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]．

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